DIE ORDNUNGSSTRUKTUR DER MATHEMATIK

 

EXPLIKATION EINES ALLGEMEINEN ERKENNTNISSCHEMAS AUS DER ORDNUNGSSTRUKTUR DER MATHEMATIK

Inhalt   

1    Einleitung 

2    Zahlen – Das statische Moment der Ordnungsstruktur 

2.1 Mächtigkeit als Kriterium von Ebenen 
2.2 Natürliche Zahlen (N) 
2.3 Ganze Zahlen (Z) 
2.4 Rationale Zahlen (Q) 
2.5 Reelle Zahlen (R) 

3    Operationen – Das kinematische Moment der Ordnungsstruktur 
3.1 Das Grundelement der Mathematik
3.2 Addition als Vorgehensweise in der Zahlentheorie
3.3 Radizieren als Vorgehensweise der Strukturexplikation

4    Explikation der Ordnungsstruktur
4.1 Regeln des Vorgehens
4.2 Operative Ausführung der Explikation
4.3 Zusammenfassung der Operationen in positiver Richtung
4.4 Der Logarithmus
4.5 Die Ausführung in Gegenrichtung
4.6 Die Arten der Einführung von Grundlagen
4.7 Potenzen und Potenzgesetze
4.7.1 Die vollständige formale Darstellung einer Zahl
4.7.2 Darstellung der Operationsabfolge durch die Potenzgesetze

5    Die Bedeutung der Ebenen in der Geometrie
5.1 Die Raumdimensionen
5.2 Dimensionalität und Undimensionalität
5.3 Zur Definition geometrischer Dimensionen
5.4 Offene und geschlossene Dimensionen
5.5 Das Undimensionale
5.6 Die vierfache Struktur des Raum-Zeit-Kontinuums

6  Eigenschaften der Strukturbereiche des Schemas

7  Ausblick

 

1 Einleitung

Unter Voraussetzung bestimmter Regeln ergibt sich aus der Anwendung der mathematischen Grundelemente und Grundoperationen eine bisher nicht explizierte immanente Ordnungs- bzw. Organisationsstruktur der Mathematik.

These: Diese Struktur stellt nicht nur die elementare und fundamentale innere Ordnungsstruktur  der Mathematik dar, sondern ist Grundlegend für unseren Verstand und somit für unsere auf Logik basierende Erkenntnis überhaupt.

Diese Ordnungsstruktur der Mathematik ergibt sich durch die Art der Beziehungen der mathematischen Grundelemente und Grundoperatoren. Sie ist damit etwas, was in der Mathematik auf abstrakte Weise bereits enthalten ist, und somit nur zu entdecken ist, ihr nicht auferlegt werden muss.

Dazu stellen wir zunächst folgende Frage: Welche grundlegenden Elemente finden wir in der Mathematik vor? Die Frage ist schnell beantwortet: Zahlen und Operatoren! Hier zeigt sich bereits eine innere Ordnung, die die Mathematik aufweist, denn es gibt verschiedene Zahlenarten und es gibt verschiedene Ordnungen von Operatoren. Wir unterscheiden Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen und Reelle Zahlen. Da die Zahlen ohne Rechenoperationen auf sie anzuwenden unverändert bleiben, betrachte ich die Zahlen zunächst als diejenigen Elemente, die die statische Struktur der gesuchten Ordnung bilden. Um diese Struktur darzustellen und um die Eigenschaften der jeweiligen Strukturabschnitte erkennen zu können, werden wir zunächst die verschiedenen Zahlenarten zu betrachten haben.

2  Zahlen – Das statische Moment der Struktur

2.1 Mächtigkeit als Kriterium von Ebenen

Die Struktur, die sich durch die Arten der Zahlen ergibt, werden wir als Ebenen bezeichnen. Entsprechend der Anzahl der Zahlenarten erhalten wir somit vier verschiedene Ebenen, die wir mit römischen Zahlen von I bis IV in eine hierarchische Ordnung bringen. Als Kriterium der Ordnung und Rechtfertigung der Hierarchie verwenden wir die Mächtigkeit der jeweiligen Zahlenart in einem abgeschlossenen Intervall von -10 bis 10. Dabei wird die Zahlenart mit der geringsten Mächtigkeit der Ebene IV zugewiesen, der Ebene I hingegen die Zahlenart mit der höchsten Mächtigkeit.

Zugleich schließen wir aus den Eigenschaften des Intervalls einer Zahlenmenge auf erste Eigenschaften jener Ebene, der diese Zahlenart zugewiesen wird.

2.2 Natürliche Zahlen (N)

Zunächst gibt es die Natürlichen Zahlen N. Zu diesen zählen allein die positiven ganzen Zahlen, sowie üblicherweise auch die Null, wenn sie nicht wie in N* ausdrücklich ausgeschlossen wird.

N = {0; 1; 2; 3; …}

N* = {1; 2; 3; …} = N\{0}

Das Intervall [-10; 10] aus der Menge der Natürlichen Zahlen N enthält nur die Zahlen von 0 bis 10, also lediglich eine begrenzte Menge von 11 Elementen (bei N* 10 Elemente), denn die negativen Zahlen sind in der Menge der Natürlichen Zahlen nicht enthalten. Von den vier Zahlenarten weisen die Natürlichen Zahlen die geringste Mächtigkeit auf.

Die Natürlichen Zahlen können zudem für konkrete Gegenstände stehen, d. h. mit den Natürlichen Zahlen kann man konkrete Gegenstände  abzählen. Sie können stellvertretend für solche Gegenstände (Äpfel, Birnen, …) stehen.

Die geringste Mächtigkeit und die konkrete Qualität lassen uns die Natürlichen Zahlen vereinbarungsgemäß der Ebene IV zuweisen.

Da die Mächtigkeit des Intervalls der Natürlichen Zahlen einen begrenzten Wert aufweist, fassen wir Begrenztheit als Eigenschaft der Ebene IV auf.

2.3 Ganze Zahlen (Z)

Bei den Ganzen Zahlen kommen zu den positiven ganzen Zahlen nun noch die negativen ganzen Zahlen hinzu.

Z = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

Diese stehen nicht mehr für konkrete Gegenstände, denn minus drei Bananen gibt es in der Realität nicht. Die Ganzen Zahlen sind abstrakter als die Natürlichen Zahlen weil sie nicht mehr für konkrete Gegenstände stehen können. Sie gehören daher von den Natürlichen Zahlen ausgehend der nächsthöheren Ebene III. an.

Dies rechtfertigt sich auch durch die höhere Mächtigkeit des Intervalls [-10; 10] aus der Menge der Ganzen Zahlen. Denn inklusive der Null enthält dieses Intervall 21 Elemente und weist damit eine fast doppelte Mächtigkeit im Vergleich zum gleichen Intervall aus der Menge der Natürlichen Zahlen auf.

Auch die Mächtigkeit des Intervalls der Ganzen Zahlen weist einen begrenzten Wert auf, woraus wir auch für Ebene III auf die Begrenztheit als eine ihrer Eigenschaften schließen.

2.4 Rationale Zahlen (Q)

Zu den positiven ganzen und negativen ganzen Zahlen kommen bei der Menge der Rationalen Zahlen nun auch die gebrochenen positiven Zahlen und die gebrochenen negativen Zahlen hinzu, bzw. die (endlichen und periodischen) Dezimalbrüche.

Q = {p/q  mit  p, q = N  und  q ≠ 0}

Etwas anschaulicher aber nur beispielhaft und formal nicht vollständig könnten die Rationalen Zahlen auch wie folgt dargestellt werden:

Q = {…; -3,5; -2,4; -1,15; 0; 1,7; 3,45; 4,6; …}

Auch die Rationalen Zahlen können nicht für konkrete natürliche Gegenstände stehen. So gibt es z. B. real keine Familie mit dem statistischen Wert von 1,5 Kindern. Und 1,5 Äpfel, als ein ganzer und ein halber Apfel, sind abgezählt nicht 1,5, sondern 2 Stücke vom Apfel. Wie es der Name bereits vermuten lässt, bestehen die Rationalen Zahlen nur im Verstand (ratio), nicht jedoch in der realen Natur, wo wir nur abzählbare und konkrete ganzzahlige Einheiten (Stückzahlen) vorfinden. Die Rationalen Zahlen bilden also eine weitere Abstraktionsstufe der Zahlen und gehören damit Ebene II an.

Dies wird auch durch die Mächtigkeit des Intervalls [-10; 10] aus der Menge der Rationalen Zahlen deutlich, denn dieses Intervall enthält eine unendliche Menge von Elementen. Schon die Menge der Zahlen zwischen 1 und 2 ist unendlich, weil die Anzahl der Dezimalstellen hinter dem Komma beliebig ist. Daraus ergibt sich als Eigenschaft der Ebene II die Unbegrenztheit.

2.5 Reelle Zahlen (R)

Geben wir zu den Rationalen Zahlen nun noch die irrationalen Zahlen I hinzu, so erhalten wir die Reellen Zahlen R. Irrationale Zahlen I sind, wie der Name schon sagt, Zahlen, deren Struktur der Verstand nicht ganz erfassen kann . Hierzu zählen Zahlen wie Pi oder die Wurzel aus Zwei, die beide unendlich viele Nachkommastellen haben. Die Reellen Zahlen bilden nochmals eine weitere Abstraktionsstufe und eine eigene Zugehörigkeitsebene. Sie gehören der Ebene I zu.

R = Q + I

Von den vier Zahlenmengen (R, Q, Z, N) bilden die Reellen Zahlen nun die vollständigste bzw. mächtigste Menge.

Aus dem hier vorliegenden Sachverhalt wird zudem deutlich, warum das Konzept der Mächtigkeit von Zahlenmengen durch die Mathematiker überhaupt eingeführt werden musste. Der Begriff der Vollständigkeit bezieht sich auf eine bestimmbare Anzahl. Nun befinden sich im Intervall [-10; 10] sowohl bei den Rationalen Zahlen als auch bei den Reellen Zahlen unendlich viele Elemente (Zahlen). Da aber bei den Reellen Zahlen im Vergleich zu den Rationalen Zahlen zusätzlich noch die Irrationalen Zahlen enthalten sind, sind die Reellen Zahlen irgendwie vollständiger in der Anzahl. Unendlich ist aber bereits die höchste Vollständigkeit – wie soll es da noch etwas Vollständigeres geben? Da man also zwei unendliche Mengen nicht hinsichtlich einer Anzahl unterscheiden kann, werden sie durch das Konzept der Mächtigkeit unterschieden. Zum leichteren Verständnis kann man sich bei einem Zahlenstrahl von 1 bis 10 versuchen vorzustellen, dass höhere Mächtigkeit in etwa eine feinere Skalierung des an sich gleich langen Zahlenstrahles bedeutet.

Eine Menge der Reellen Zahlen hat also die höchste, eine Menge der Natürlichen Zahlen hingegen die geringste Mächtigkeit. Dazwischen befinden sich die Rationalen Zahlen und die Ganzen Zahlen. Die durch diese vier Zahlenmengen gebildete Struktur besteht also aus vier Ebenen, die sich anhand der Mächtigkeit der ihnen zugeordneten Zahlenmengen unterscheiden, und eine Hierarchie der Ebenen bilden. Wir stellen dies in einer Tabelle dar, die auch die bisher festgestellten Eigenschaften der Ebenen berücksichtigt.

Tab 01

Wie in der Tabelle gut zu erkennen ist, enthält eine jeweils höhere Ebene die Inhalte der jeweils niederen Ebene in sich, setzt sie aber für sich zugleich auch voraus; jede niedere Ebene aber enthält auch einen Teil der höheren Ebenen in sich.

Weiterhin ist die Anzahl der Ebenen für unser logisches Denken vollständig bestimmt, da uns keine weiteren Zahlenarten mehr vorstellbar sind.

Wie man jedoch in der Spalte „Eigenschaften“ erkennt, fehlt noch ein weiteres Kriterium, um Ebene I von Ebene II zu unterscheiden zu können, denn beide gleichen sich bisher in ihren Eigenschaften. Das fehlende Kriterium wird uns die weitere Untersuchung aber noch liefern. Zunächst wollen wir in die bisher statische Struktur der Ebenen Bewegung hereinbringen.

3  Operationen – Das kinematische Moment der Ordnungsstruktur

Wir haben bis hierher lediglich die statische Struktur der Ebenen dargestellt. Um nun ein kinematisches Moment in dieser Struktur zu erzeugen, sind die Operatoren der Mathematik nötig. Schauen wir uns nun die in der Mathematik verwendeten Operatoren an, so finden wir auch hier eine innere Ordnung vor. So gibt es folgende Operatoren:

  1. Ordnung:  Addition und Subtraktion
  2. Ordnung:  Multiplikation und Division
  3. Ordnung:  Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen)

Wir verwenden also lediglich die unären und binären Operatoren und benötigen keine komplexen Funktionsoperatoren. Zu jeder Ordnung gehört eine Operation, die das Resultat der Operation, wenn man sie mit Zahlen größer als Eins durchführt, im Vergleich zum Ursprung (der ersten Zahl im Term der Operation) vermindert (Radizieren, Division, Subtraktion), und eine Operation, die das Resultat vermehrt (Potenz, Multiplikation, Addition). Folgende Tabelle veranschaulicht dies. (Dabei soll gelten a > b und a, b sind Element von N)

Tab 02

Da wir die Mathematik nicht verändern, sondern nur ihre Ordnungsstruktur schematisch darstellen wollen, ist zu fordern, dass die Ordnung bzw. Hierarchie  der Rechenoperatoren beibehalten wird. Die Rechenoperatoren mit ihrer Anordnung von je einem gegensätzlichen Operator für jede der drei Ordnungen erzeugen durch ihre Anwendung das kinematische Moment der inneren Ordnungsstruktur. Dieses kinematische Moment ist im weiteren Vorgehen mit der statischen Struktur der Zahlenebenen zu verbinden.

Einen Hinweis darauf, wie dies zu erfolgen hat, erhalten wir, wenn wir betrachten, welche Rechenoperationen mit welchen Zahlenmengen uneingeschränkt möglich sind. Hier geht es vor allem um die vermindernden Operatoren (Radizieren, Division, Subtraktion), denn die vermehrenden Operatoren können mit allen Zahlenmengen uneingeschränkt verwendet werden. Dies mag sich verwunderlich anhören, erklärt sich aber leicht.

Angenommen wir haben allein die Menge der Natürlichen Zahlen N zur Verfügung, also allein die positiven ganzen Zahlen, dann können wir beliebige zwei Zahlen dieser Menge sowohl addieren, als auch multiplizieren oder potenzieren und erhalten ein Ergebnis, welches auch wieder eine positive ganze Zahl ist und somit zur Menge der Natürlichen Zahlen N als der uns allein zur Verfügung stehenden Zahlenmenge gehört. Nicht aber können wir jede beliebige Subtraktion ausführen, denn 5 – 7 ergibt -2. Diese -2 gehört jedoch nicht zu der Menge der Natürlichen Zahlen N. Somit ist nicht jede Subtraktion mit dieser Zahlenmenge durchführbar. Die Subtraktion kann also erst dort vollständig ausgeführt werden, wo die Menge der Ganzen Zahlen Z zur Verfügung steht. Gleiches gilt für die Division. 5 / 2 = 2,5. Die 2,5 gehört jedoch nicht zur Menge der Natürlichen Zahlen N, sondern zu den Rationalen Zahlen Q, womit auch die Division nicht uneingeschränkt mit den Natürlichen Zahlen N durchführbar ist, sondern nur dort vollständig ausgeführt werden kann, wo die Rationalen Zahlen Q zur Verfügung stehen. Ich werde für die anderen Zahlenmengen hier keine eigenen Beispiele geben, sondern begnüge mich mit einer Tabelle, in der dargestellt wird, mit welcher Zahlenmenge welche Rechenoperationen uneingeschränkt ausführbar sind. Weil die Addition, die Multiplikation und das Potenzieren mit allen Zahlenarten uneingeschränkt möglich ist und daher hinsichtlich der verschiedenen Zahlenarten kein Unterschied gemacht wird, werden diese Operationen in Klammern gesetzt und nur der Vollständigkeit wegen aufgeführt.

Tab 03.png

Aus dieser Übersicht ergibt sich z. B., dass wir die Wurzel (Radizieren) allein auf Ebene I durchführen können, die Division mindestens der Ebene II bedarf und die Subtraktion nicht der Ebene IV zugeordnet werden kann.

Zudem wird, wie schon in der Tabelle der Zahlenarten, auch hier bei den Rechenoperatoren deutlich, dass die jeweils höheren Ebenen die Elemente (hier Operatoren) der unteren Ebenen enthalten. Es wird also von unten nach oben betrachtet eine stetige Zunahme der Möglichkeiten sichtbar, wodurch sich auch die Hierarchie von Ebene I hinab zu Ebene IV rechtfertigt, d.h. die Ebene I als höchste Ebene zu betrachten ist.

3.1 Das Grundelement der Mathematik

Für den Beginn unseres Vorgehens stellen wir folgende Grundbedingung.

(a) Gegeben sei ein einziges Element als Ursprung einer Operation

Zur Ausführung von Rechenoperationen benötigen wir Zahlen.  Nun stellt sich jedoch die Frage, welche Zahl als Grundelement zu setzen ist. Als Voraussetzung für eine vollständige Mathematik benötigen wir mindestens das Dualsystem, wofür genau zwei Zahlen, nämlich die Null und die Eins benötigt werden. Die Mindestvoraussetzung von zwei Elementen ergibt sich übrigens aus der Tatsache, dass der Verstand immer einer Zweiheit (Dualität) bedarf, um überhaupt arbeiten zu können. In der Erkenntnistheorie nennen wir dies das Prinzip der Bikonditionalität.

Das Ziel einer jeden wissenschaftlichen Disziplin ist es, die Begründung ihres Gegenstandes auf ein einziges Element, oder ein einziges Prinzip zurückführen zu können. Ein Problem ist jedoch, dass unser Verstand vor einer absoluten Einheit kapituliert, da er in der Notwendigkeit Unterscheiden zu müssen, immer auf eine Zweiheit von Elementen oder Prinzipien angewiesen ist. Der Versuch, eine Wissenschaft dennoch auf eine absolute Einheit zurückzuführen, führt daher oft zu Widersprüchen. Anders herum bedeutet dies, dass wenn man eine Wissenschaft aus einer absoluten Einheit heraus begründen will, man wohl von einem nicht logischen sondern dialektischen Ansatz ausgehen wird, da in der Dialektik die Zweideutigkeit und (mitunter auch der Widerspruch) zeugendes Prinzip ist.  Für die Mathematik würde dies bedeuten, dass die Explikation ihrer Ordnungsstruktur z.  B. darauf zu begründen wäre, dass ein und die gleiche Operation zu unterschiedlichen Ergebnissen führt. Eine solche Operation wäre jedoch widersprüchlich und damit dialektisch.  Nach einem solchen Ansatz müsste dann sofort in die für die Mathematik unabdingbare logische Strenge übergegangen werden – denn Widersprüche sollen in der Mathematik nicht sein. Kommen wir nun zurück zur Frage nach dem für die Mathematik zu setzenden Grundelement.

Unserer Meinung nach kann unser erster Ansatz nur durch Zahl Eins erfolgen. Die Eins gilt uns als absolutes Grundelement der Mathematik, wobei damit die Absolute Eins |1|, der noch kein Vorzeichen angehört, oder, wie man auch sagt, der Betrag der Zahl Eins, gemeint ist. Auch setzen wir, gemäß dem Grundsatz ex nihilo nihil fit (lat. „aus Nichts wird Nichts“), die Eins und nicht die Null als grundlegend.

Es mag natürlich auch Ansichten geben, die eine Entstehung der Welt aus dem Nichts vertreten, und die diesem Gedanken gemäß hier die Null als erstes und grundlegendstes Element setzen würden. Jene hätten jedoch auf die Frage zu antworten, wie viele solcher „Nichtse“ sie denn mindestens voraussetzen müssten, damit ihre derart vorgestellte Entstehung oder Schöpfung stattfinden kann. Sie könnten wohl kaum vermeiden, mindestens EIN solches Nichts annehmen zu müssen, womit sie dann wohl selbst auch die Eins als grundlegend zu setzen hätten.

Nun reicht es nicht, einfach die Absolute Eins |1| hinzustellen. Irgendetwas muss geschehen, damit eine Entfaltung der Strukturen sichtbar wird. Es muss an der |1| etwas vorgenommen werden, eine Art Transformation muss erfolgen, damit wir irgendwie weiterkommen. Natürlich sind die Rechenoperatoren dasjenige, was sozusagen Bewegung in der Mathematik erzeugt. Wir müssen uns also für eine der sechs möglichen Rechenoperationen entscheiden, die wir auf diese |1| nun anwenden wollen, um weiter zu kommen, d. h. um überhaupt erst mal Zahlen einzuführen.

3.2 Addition als Vorgehensweise in der Zahlentheorie

In der herkömmlichen Zahlentheorie beginnt man damit, indem man die Addition verwendet und zur gegebenen Eins eine weitere Eins hinzu addiert und so eine Zwei erhält. Dies wird mit der Zwei wiederholt und man erhält die Drei. Man führt dies fort nach dem Schema n = n + 1, welches man als vollständige Induktion kennt, wodurch alle Zahlen des Zahlenstrahles ohne eine mögliches Ende erzeugt werden. Das gleiche Prinzip führt von der Eins ausgehend durch Subtraktion zur Null, und darüber hinaus zur theoretisch unendlichen Menge der negativen Zahlen.

Man beginnt also mit der Eins und mit der Addition. Wir haben bereits gesehen, dass die Addition uneingeschränkt auf alle Zahlenmengen (R, Q, Z, N) angewendet werden kann. Das bedeutet aber, dass durch die Addition nicht festgelegt wird, um welche Art Eins es sich hier überhaupt handeln soll. Natürlich kommt durch sukzessive Addition von Eins, ausgehend von einer Eins, immer eine positive ganze Zahl heraus, die der Zahlenmenge der Natürlichen Zahlen N angehört. Dennoch muss aber mit der zugrunde gelegten Eins nicht eine Natürliche Zahl zugrunde gelegt sein. Denn anhand unserer obigen Tabelle sehen wir, dass die Natürlichen Zahlen N auch Bestandteil jeder anderen Zahlenmenge sind. Die vorausgesetzte Eins kann also durchaus auch als eine Zahl aus der Menge der Reellen Zahlen R, der Rationalen Zahlen Q, oder der Ganzen Zahlen Z betrachtet werden. Und wenn wir mit ihr auch die negativen Zahlen erzeugen, dann muss sie zumindest zur Ebene der Ganzen Zahlen gehören.

Im Allgemeinen geht man natürlich davon aus, dass es sich hier um eine Natürliche Zahl handelt. Durch den Schritt der sukzessiven Subtraktion entstehen dann die negativen Zahlen, sodass aus der Menge der durch Addition gebildeten Natürlichen Zahlen N nun die Menge der Ganzen Zahlen Z wurde. Als nächstes wendet man die Division an, wodurch die gebrochenen bzw. dezimalen Rationalen Zahlen Q gebildet werden, um zum Schluss durch die Wurzel die Reellen Zahlen R (z.B. Wurzel aus 2) zu bilden. Dies ist das bis heute übliche Verfahren, wie man sich die Entstehung der verschiedenen Zahlenmengen denkt. Man beginnt aus Perspektive unserer Ebenen betrachtet ganz unten im Konkreten, den zum Abzählen von Gegenständen verwendbaren Natürlichen Zahlen N also, und arbeitet sich von diesen hoch, über die Ganzen Zahlen Z, die Rationalen Zahlen Q und die Reellen Zahlen R in die abstrakten Ebenen. Auch was die Operatoren betrifft beginnt man mit der untersten Ordnung: Der Addition als Rechenoperation der 1. Ordnung.

Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass uns mit der Absoluten 1 nur ein einziges Grundelement als Ausgangspunkt zur Verfügung steht, dann können wir gar nicht mit der Addition beginnen, weil um diese durchführen zu können mindestens zwei Grundelemente gegeben sein müssen.

Der Weg vom Konkreten zum Abstrakten ist in der Praxis auch ein Weg vom Besonderen zum Allgemeinen. In der Logik nennt man diese Methode des Schießens Induktion. Was die Allgemeingültigkeit betrifft, so sind bei der Induktion jedoch Zweifel anzumelden. Ein Schluss vom Besonderen zum Allgemeinen muss nicht allgemein gültig sein, wie folgendes Beispiel zeigt.

Prämisse 1:   Sokrates hat eine Hakennase
Prämisse 2:   Sokrates ist ein Mensch
Konklusion:  Also haben Menschen Hakennasen

Formal ist dieser Schluss zwar korrekt, dennoch aber gilt er nicht für alle Menschen, d.h. die Konklusion ist falsch. Mit der Induktion können wir allerdings auch, wie im folgenden Beispiel, allgemeingültige Schlüsse erhalten:

Prämisse 1:   Sokrates ist sterblich
Prämisse 2:   Sokrates ist ein Mensch
Konklusion:  Also sind Menschen sterblich

Zwar ist diese Konklusion allgemeingültig, in ihrer Begründung sind jedoch Grund und Folge verwechselt. Denn die Menschen sind nicht sterblich, weil Sokrates sterblich ist, sondern Sokrates ist sterblich, weil Menschen sterblich sind. Die Problematik der Allgemeingültigkeit wird durch den umgekehrten Schluss vom Allgemeinen auf das Besondere vermieden. Diese Methode wird von der Logik Deduktion genannt. Deduktiv sähe das letzte Beispiel also wie folgt aus:

Prämisse 1:   Menschen sind sterblich
Prämisse 2:   Sokrates ist ein Mensch
Konklusion:  Also ist Sokrates sterblich

Wenn unser bisheriger Gang vom Konkreten zum Abstrakten also eher Induktiv und daher problematisch zu sein scheint, dann stellt sich die Frage, ob es auch einen deduktiven Weg entlang unserer Ebenen gibt. Wir müssten dazu nun in Ebene I mit den Reellen Zahlen R beginnen und in Ebene IV herabsteigen zu den Natürlichen Zahlen N. Wie soll dies möglich sein?

3.3 Radizieren als Vorgehensweise in der Strukturexplikation

Wenn wir das (wissenschaftliche) Begründungsideal des Prinzipienmonismus voraussetzen, dann muss die hier vorausgesetzte Absolute Eins |1| als Ansatz unserer Strukturexplikation eine absolute Einheit darstellen. Und wenn wir es mit unserer Aussage ernst nehmen, dann bedeutet dies, auch absolute Einzigkeit und absolute Einzelheit. Dies aber bedeutet: Es ist nur einzig und allein diese absolute Eins gegeben und keine weitere; denn dann wäre der Ausgangspunkt wieder eine Dualität, bestehend aus Zwei absoluten Einsen, was zudem die Frage aufbrächte, wie diese beiden Einsen denn überhaupt zu unterscheiden wären. Wir müssten ihnen zu diesem Zweck ein künstliches Merkmal wie einen Index anfügen und es wäre unsere eigene Entscheidung, welche hier Priorität als die erste, vordere, höhere, rechte o. ä. hätte. In einer strengen Begründung jedoch werden Dinge notwendigerweise bestimmt. Sie darf keinerlei Spielraum für willkürliche Entscheidungen lassen, da in einem solchen Falle immer eine weitere und entgegengesetzte Begründungstheorie aufgeboten werden könnte, die die willkürliche Entscheidung zugunsten der Alternative treffen kann.

Wenn wir also die Kinematik unserer Ordnungsstruktur ausgehend von einer alleinigen und absoluten Einheit einführen wollen, und für diese absolute Einheit die vorzeichenlose absolute Eins |1| setzen, dann können wir auf keinen Fall die Addition verwenden, weil eine weitere Eins, die wir zur ersten hinzu addieren könnten, überhaupt nicht zur Verfügung steht – ja in einer absoluten Einheit gar nicht existieren kann, andernfalls wir keine absolute Einheit zur Voraussetzung hätten.

Um nun also eine Rechenoperation auszuwählen, die zugleich eindeutig festlegt, um welche Art Zahl es sich im ersten Ansatz handelt, scheint es sinnvoll, eine Rechenoperation auszuwählen, die nur auf eine einzige Zahlenmenge uneingeschränkt anwendbar ist. Wie sich aus obiger Tabelle ergibt, ist es das Radizieren, bzw. das Wurzelziehen, welches sich uneingeschränkt allein auf die Reellen Zahlen R anwenden lässt. Die Division hingegen lässt sich uneingeschränkt anwenden auf die Reellen Zahlen R und die Rationalen Zahlen Q, und die anderen Rechenoperationen lassen sich auf noch mehr Arten von Zahlenmengen uneingeschränkt anwenden. Wenn also von einer uneingeschränkten Verwendung der ersten und einführenden Operation ausgegangen wird, und diese Operation das Wurzelziehen ist, dann ist damit auch zugleich festgelegt, dass es sich bei der zugrunde gelegten absoluten Eins um eine Zahl aus der Menge der Reellen Zahlen R handelt. Außerdem ist damit der Ausgangspunkt auf Ebene I gelegt, da die Reellen Zahlen, bzw. das Kontinuum der Reellen Zahlen, der Ebene I zugewiesen ist. Damit aber beginnen wir im Vergleich mit der Zahlentheorie am genau entgegengesetzten Ende, nämlich in der abstrakten Ebene I und nicht in der konkreten Ebene IV. Unsere Methode nimmt daher den deduktiven Weg.

Entscheidend aber ist, dass das Wurzelziehen die einzige der sechs Rechenoperationen ist, die keine weitere Zahl benötigt. Für jede andere Rechenoperation ist eine weitere Zahl notwendig, um sie ausführen zu können. Einzig das Wurzelziehen ist anwendbar auf eine einzige Zahl. Und wir gingen ja davon aus, dass nur einzig eine absolute Eins |1| gegeben ist, und keine weitere hinzu angenommen werden kann, wenn wir es mit der absoluten Einheit ernst nehmen wollen.

Zur Ermittlung der Ordnungsstruktur der Mathematik beginnen wir also mit der Rechenoperation „Wurzel aus Eins“. Die Wurzel holt damit sozusagen hervor, was in der Eins enthalten ist, wir ziehen etwas aus der Eins heraus, sodass die Eins die Ordnungsstruktur der Mathematik aus sich selbst heraus erzeugt.

Wir haben in der Erkenntnistheorie dargestellt, warum wir gegen den Prinzipienmonismus sind. Der menschliche Verstand ist auf die Fähigkeit unterscheiden zu können angewiesen. Daher bedarf er als Prinzip immer mindestens einer Dualität. So muss der Aufbau einer Mathematik zwar nicht, wie bei uns geläufig, auf Basis des Dezimalsystems erfolgen, erfordert aber mindestens das Dualsystem. Der Prinzipiendualismus ist jedoch lediglich ein Erfordernis des Verstandes. Die über den Verstand hinausgehende Vernunft ist hingegen sehr wohl in der Lage zu einem Prinzipienmonismus zu gelangen. Dem trägt hier zum einen die Annahme der Absoluten Eins als Ausgangspunkt Rechnung. Zum anderen ist die Ebene I die Ebene der absoluten Einheit bzw. die Ebene des Absoluten. Die Unendlichkeit der Ebene I fassen wir nicht als eine räumlich oder zeitlich vorgestellte Unendlichkeit auf (wie dies bei Ebene II der Fall ist), sondern als eine Unendlichkeit aufgrund der Nicht-Anwendbarkeit oder Bedeutungslosigkeit von Raum und Zeit. Ebene I steht für die Absolutheit des Undimensionalen. Anfang und Ende heben sich hier gegenseitig auf, fallen in eins zusammen, während auf Ebene II Anfang und Ende unendlich weit entfernt sind.

Erst durch die Vorstellung des Prinzipienmonismus auf der Ebene I ist die Ordnungsstruktur der Mathematik jedoch als ein geschlossenes System zu betrachten. Dabei wollen wir unter systematischer Geschlossenheit erstens die Vorstellung aller möglichen Elemente eines Systems und zweitens die Rückkehr zum Ausgangspunkt verstehen. Wie dies nun operativ erfolgen kann wird Thema des nächsten Kapitels sein.

4  Explikation der Ordnungsstruktur

4.1 Regeln des Vorgehens

Bevor wir nun von |1| ausgehend die gesamte Struktur entfalten, sind einige Vereinbarungen und Regeln festzulegen, die uns einen sicheren Gang ermöglichen sollen.

Wir sprachen bisher von Ebenen der statischen Struktur. Diese Ebenen bildeten wir, indem wir die Zahlenarten in ihrer Mächtigkeit unterschieden. Wir möchten nun innerhalb dieser Ebenen ein kinematisches Moment einbringen, welches sozusagen einen Prozess darstellt, der innerhalb dieser Ebenen verläuft. Dabei sprechen wir hinsichtlich der Prozessabschnitte innerhalb der verschiedenen Ebenen von Stadien. Während sich also die statische Struktur in römisch nummerierte Ebenen (E I – E IV) gliedert, wird der kinematische Prozess durch arabisch nummerierte Stadien (S 1 – S 7) strukturiert. Kommen wir nach dieser formalen und begrifflichen Anmerkung nun zu einer handvoll Regeln.

  1. Jede Rechenoperation führt in ein neues Stadium auf einer neuen Ebene.
  2. Die Resultate, die sich aus den Operationen mit dem jeweiligen Operator ergeben, sind zugleich die gegebenen Ausgangswerte des nächsten Stadiums.
  3. Jeder einzuführende Operator ist erschöpfend zu verwenden.
    (D.h. die jeweils zur Verfügung stehenden Zahlen sind mit der jeweiligen Rechenoperation auf jede mögliche Weise zu kombinieren. So ist z. B. 1 + 1 = 2. Da wir aber noch keine Kommutativ- oder Assoziativgesetze formuliert haben, müssen wir jede der beiden Einsen in der genannten Operation individuell betrachten. Denn ohne das Kommutativgesetz formuliert zu haben ist nicht sicher, dass a + b auch b + a ist. D.h. die Operation 1 + 1 = 2 wäre noch einmal auszuführen, diesmal würde jedoch nicht die rechte Eins zur linken Eins, sondern die linke Eins zur rechten Eins addiert werden. Gleiches gilt für alle anderen Rechenoperationen. Es werden also meistens Zwei Operationen in jedem Stadium auftreten, die sich zwar gleichen, aber nicht das Gleiche bedeuten.)
  4. Stehen für eine Operation nur Nullen zur Verfügung, dann ist die Rechenoperation, die zu diesem Ergebnis führte umzukehren, bzw. rückgängig zu machen, da die Null nicht Grundlage und Ausgangswert weiterer Rechenoperationen sein kann.
  5. Jeder Rechenoperator darf nur ein einziges Mal verwendet werden, indem mit den ihm zur Verfügung gestellten Zahlen (die die Resultate der vorherigen Operation sind), gemäß Regel 2 alle möglichen Operationen ausgeführt werden.
  6. Um ein geschlossenes System zu erhalten sollten Ausgangspunkt und Endpunkt identisch sein.

Wir werden also in jedem Stadium als gegeben jene Zahlen vorfinden, die wir durch die Resultate der Operation im vorherigen Stadium erhielten. An diesen nun gegebenen Zahlen werden wir die notwendigen und möglichen Rechenoperationen vornehmen, um die jeweilige Rechenoperation, bzw. den jeweiligen Operator, in die Ordnungsstruktur einzuführen. Die Resultate dieser Operationen sind dann zugleich der Ausgangspunkt, also das Gegebene, für die Einführung des nächsten Operators im folgenden Stadium.

4.2 Operative Ausführung der Explikation

Wir beginnen mit einer Rechenoperation der 3. Ordnung, und zwar mit der vermindernden Form der in dieser Ordnung vorhandenen Operatoren, dem Radizieren (Wurzelziehen), das wir auf die absolute Eins anwenden, die uns als Symbol für die Begründung aus einer absoluten Einheit heraus gegeben ist. Die erste Operation lautet also schlicht und ergreifend Wurzel aus |1|bzw.:

Frm 01 - Sqr 1

Natürlich handelt es sich hier um die einfache Wurzel, d.h. die Quadratwurzel. Doch was erhalten wir als Ergebnis dieser Operation? Wie bekannt ist hat jedes Resultat aus einer Quadratwurzel zwei Lösungen: Eine positive und eine negative. Das liegt daran, weil die Multiplikation von Zahlen mit gleichem Vorzeichen ein positives Resultat liefert. Wir können eine 1 also sowohl dadurch erhalten, dass wir die -1 quadrieren, aber auch indem wir die +1 quadrieren, d. h. (+1) x (+1) = (+1) aber auch (-1) x (-1) = (+1). Das Quadrieren als Gegenteil zur Quadratwurzel führt also immer zu einem positiven Ergebnis. Ein negatives Resultat ist durch Quadrieren überhaupt nicht möglich. Wir können daher das Quadrieren in letzter Konsequenz als eine Aufhebung der Vorzeichen betrachten.

Zudem haben wir hier das eingangs angesprochene dialektische Moment in der Mathematik, wo ein und die gleiche Rechenoperation zwei unterschiedliche Resultate liefert.

Frm 02 - 1.Operation

Nun haben wir uns als Ausgangspunkt die Absolute Eins |1| gesetzt, die  vorzeichenlos ist. Wenn wir, wie oben erklärt, das Quadrieren in letzter Konsequenz als Aufhebung der Vorzeichen betrachten können, dann können wir die Quadratwurzel, als Gegenteil des Quadrierens, zur Einführung der Vorzeichen verwenden.

Damit gelangen wir allein durch diese Rechenoperation aus der Ebene der absoluten Einheit (bzw. der Ebene I als Ebene der Dialektik und der Vernunft) zur Ebene II als Ebene der Dualität, die für Mathematik, Logik und Verstand grundlegend ist. Vollständig sieht die auf Ebene I in Stadium 1 erfolgte Operation also wie folgt aus (im Folgenden bedeuten E Ebene und  S Stadium).

(EI-S1) Gegeben:    |1|
——————————————————-
Resultat:                    (+1); (-1)

Gegeben war auf Ebene I also eine absolute Einheit, und als Resultat erhalten wir für Ebene II eine Dualität von Plus und Minus.  Dies entspricht genau den Eigenschaften der beiden Ebenen. Das Resultat von +1 und -1 ist nun also der Ausgangspunkt im nächsten Stadium auf Ebene II.

Aber wie geht es nun praktisch weiter? Wir haben im ersten Stadium auf Ebene I (der Ebene der Reellen Zahlen) die vermindernde Rechenoperation der 3. Ordnung verwendet und damit eingeführt. Wir sind dadurch, dass wir die vermindernde Form verwendet haben sozusagen eine Ebene herab gestiegen. Dieser Abstieg, der uns in die Ebene II der Rationalen Zahlen Q führte, erfordert nun, dass wir jetzt auch eine Rechenoperation geringerer Ordnung zu verwenden haben, sodass wir nun zu den Rechenoperatoren der 2. Ordnung kommen. Auch hier verwenden wir den vermindernden Operator, also die Division, weil erstens vom Ausgangspunkt unseres Prinzips selbst her schon im Wurzelziehen, als einzig möglicher Anfangsoperation die vermindernde Form vorgegeben war, dies beizubehalten zudem logisch ist, weil wir weitere Ebenen hinabsteigen müssen.

Wenn wir zudem unsere Tabelle betrachten, dann stellen wir fest, dass wir nun sogar die Division einführen müssen. Denn wir befinden uns auf der Ebene der Rationalen Zahlen Q. Hier ist die uneingeschränkte Verwendung der Division noch möglich. Führen wir die Division also nicht hier ein, dann haben wir in den folgenden Ebenen überhaupt nicht mehr die Möglichkeit sie einzuführen. Mit dem hier nun auszuführenden Schritt gelangen wir ja zu Ebene III, also zu den Ganzen Zahlen Z, mit denen die uneingeschränkte Anwendung der Division nicht mehr möglich ist.

Das nun die Division einzuführen ist, lässt sich auch durch die Potenzgesetze begründen. Wir kommen darauf jedoch an anderer Stelle noch zu sprechen (siehe Kapitel 4.7.2).

Die Vorgänge auf Ebene II in Stadium 2 sind nun also die folgenden:

(EII-S2) Gegeben:  (+1); (-1)

Operation A:            (+1) / (-1) = (-1)a
Operation B:            (-1) / (+1) = (-1)b
——————————————————-
Resultat:                   (-1)a; (-1)b

Hier kam nun erstmalig Regel 3 zur Anwendung, jede mögliche Rechenoperation auszuführen. Von den hier gegebenen Zahlen trat jede einmal als Divisor und einmal als Dividend auf, sodass wir zu zwei Rechenoperationen gelangen. Mehr Operationen sind mit den gegebenen Zahlen nicht möglich. Da wir jedoch im Resultat zwei gleiche Zahlenwerte erhielten, die aus verschiedenen Operationen hervorgingen, ist hier im Resultat eine indexikalische Unterscheidung der Zahlen durch a und b erfolgt. Wir erhielten aus Stadium II als gegeben (+1) und (-1), geben aber nun weiter an Ebene III Stadium 3 die (-1)a und die (-1)b.

Da wir abermalig eine Ebene herabgestiegen sind, ist auch nun wieder, analog zu eben, eine geringere Ordnung von Rechenoperatoren zu verwenden. Nach Wurzel und Division erscheint es daher wohl nicht sonderlich merkwürdig, wenn wir nun die Subtraktion einführen. Zudem macht unsere Tabelle deutlich, dass wir dies hier notwendigerweise tun müssen, weil es auf der nächsten Ebene nicht mehr uneingeschränkt möglich ist zu subtrahieren, denn dort stehen uns nur noch die Natürlichen Zahlen zur Verfügung. Es ergeben sich in Ebene III Stadium 3 also folgende Operationen:

(EIII-S3) Gegeben:  (-1)a; (-1)b

Operation A:              (-1)a / (-1)b = 0
Operation B:              (-1)b / (-1)a = 0
——————————————————-
Resultat:                     0; 0

Wir erhalten also als Ausgangswerte für Ebene IV Stadium 4 zwei Nullen, die zu indizieren ich mir erspare. Dies weist nun zwar die Null als zu den Natürlichen Zahlen gehörig aus, lässt uns aber keine weiteren Rechenoperationen mehr ausführen, denn was sollten wir mit zwei Nullen anfangen. Hier ist nun Regel 4 zu verwenden, die besagt, dass wenn ein Resultat Null sich ergibt, die Operationen, aus denen dies resultierte umzukehren sind, bzw. rückgängig zu machen sind. Wie nun machen wir eine Subtraktion rückgängig? Durch Addition natürlich. Rückgängig machen bedeutet hier jedoch zugleich, dass wir uns von Ebene IV (Natürliche Zahlen N), in der wir uns hier befinden, zurück bewegen werden in die Ebene III (Ganze Zahlen Z). Stadium 4 führt also eine Umkehroperation durch, die uns wieder hinauf führt. Denn wenn wir durch die Verwendung der drei vermindernden Operatoren hinabgeführt wurden, dann ist es sinnvoll anzunehmen, dass uns die vermehrenden Operatoren (Addition, Multiplikation, Potenzieren) wieder hinauf führen. Zunächst jedoch wollen wir die Umkehr auch mathematisch durchführen:

(EIV-S4) Gegeben:  0; 0

Operation A:              0 + (-1)a = (-1)a
Operation B:              0 + (-1)b = (-1)b
——————————————————-
Resultat:                     (-1)a; (-1)b

Wie wir sehen erhalten wir als Ausgangspunkt für Stadium 5 genau die Werte zurück, die sich in Stadium 3 ergaben. Und wie in Stadium 3, so befinden wir uns auch in Stadium 5 wieder auf Ebene III. Die Stadien 3 und 5 bilden also ein gegenüber liegendes Paar, dem in der Ordnung der mathematischen Operatoren die 1. Ordnung entspricht (Subtraktion, Addition). Der Umkehrpunkt in Ebene IV bedeutet zugleich, dass hier die unterste Ebene erreicht war, und es keine weiter darunter liegende Ebene mehr geben kann. Auch kann es wohl keine weiteren mathematischen Operatoren mehr unterhalb der 1. Ordnung geben.

Da zur Umkehr die Addition als vermehrende Operation 1. Ordnung verwendet wurde, ist nun eine Ebene darüber die Multiplikation als vermehrende Operation 2. Ordnung an der Reihe.

Die Vorgänge in Stadium 5 auf Ebene III sind somit die folgenden:

(EIII-S5) Gegeben:  (-1)a; (-1)b

Operation A:              (-1)a x (-1)b = (+1)a
Operation B:              (-1)b x (-1)a = (+1)b
——————————————————-
Resultat:                     (+1)a; (+1)b

Die Resultate der Multiplikation sind nun der Ausgangspunkt für Stadium 6, welches sich auf der Ebene II befindet.

Dass die Multiplikation von Ebene III Stadium 5 in Ebene II Stadium 6 führt, entspricht der zur Ordnung der Multiplikation gehörenden Division, die auf der gegenüber liegenden Seite von Ebene II Stadium 2 in Ebene III Stadium 3 führte. An der Übergangslinie zwischen Ebene II und Ebene III finden wir also links die Division und rechts die Multiplikation vor. An der Übergangslinie zwischen Ebene III und Ebene IV hingegen finden wir links die Subtraktion und rechts die Addition vor.

Es ist daher nicht verwunderlich, dass wir nun dort, wo wir auf der linken Seite der Übergangslinie zwischen Ebene I und Ebene II das Radizieren vorfinden, wir hier auf der rechten Seite das Potenzieren anwenden, durch das wir nun von Stadium 6 in Stadium 7 geführt werden.

Da Ebene I nun die Ebene der absoluten Einheit darstellt, darf hier kein zweifaches Resultat mehr auftreten. Im Grunde genommen ist das Quadrieren eine Multiplikation mit zwei gleichen Faktoren. Der Unterschied zur Multiplikation besteht jedoch darin, dass die Faktoren in der Potenz eine Synthese bilden, die die Unterschiedlichkeit, bzw. die Individualität der Faktoren in einer Einheit aufhebt. Aufgrund dieses Sachverhaltes nun kann die indizierte Unterscheidung der Faktoren aufgehoben werden und wir benötigen auch keine zweite Rechenoperation mehr, da das Vertauschen der Faktoren zum identischen Resultat führt (d. h. zum selben und nicht nur gleichen Resultat).

Wir erhalten für Ebene II Stadium 6 somit das Folgende:

(EII-S6) Gegeben:  (+1)a; (+1)b

Operation A:            (+1)a x (+1)b = |1|
Operation B:            (+1)b x (+1)a = |1|
——————————————————–
Resultat:                   |1|

Da, wie oben bereits gesagt, das Quadrieren einer Zahl immer ein positives Resultat hat und kein negatives Vorzeichen möglich ist, können wir hier von einer Aufhebung der Vorzeichen sprechen, und erhalten dadurch im Resultat für Ebene I Stadium 7 die absolute Eins als Betrag |1| zurück. Für Stadium 7 auf Ebene I gilt somit:

(EI-S7) Gegeben und erhaltenes Endresultat: |1|   

Da keine weitere mathematische Operation mehr in unsere Ordnungsstruktur einzuführen ist, erhalten wir hiermit das Endresultat unseres Ganges von Stadium 1 bis Stadium 7 durch die vier Ebenen hindurch. Dieses Endresultat |1| ist nun absolut identisch mit dem in Stadium 1 ursprünglich Gegebenen. Wir gingen aus von der absoluten Eins, und erhielten sie im Endergebnis zurück, womit Regel 6 nun ebenfalls eingehalten ist. Es ergibt sich schematisch dargestellt also folgendes Bild.

Schema - voll

Allein schon aus der schematischen Darstellung ergibt sich, warum es nur sechs mathematische Operatoren gibt, und dass es nur vier verschiedene Zahlenmengen gibt, und geben kann. Wenn sieben Stadien durchlaufen werden, dann kann es immer nur sechs Operationen geben, die von Stadium zu Stadium führen.

Eine andere Reihenfolge der Verwendung der Rechenoperatoren als die, die hier verwendet wurde, ist unmöglich, da wir sonst nicht immer nur -1 oder +1 oder |1| als Resultat erhielten. Dieses Prinzip schematisiert somit die innere Ordnungsstruktur der Mathematik, und ist zugleich die Grundlage aller Positionssysteme der Mathematik, weil es die für alle Systeme notwendige Zahl 1 und die Antizahl 0, sowie alle Rechenoperatoren überhaupt erst zur Verfügung stellt, die alle anderen Systeme bisher einfach als gegeben voraussetzen. Erst nach exemplarischer Einführung der Zahl, sind auch mengentheoretische Begründungen möglich. Wir haben gesehen, dass vom Ausgangspunkt der absoluten Einheit her, mit der Addition überhaupt nicht begonnen werden kann. Wo man jedoch aus einem einzigen zugrunde gelegten Element noch nicht einmal heraus kommt, da kann die Existenz einer Menge erst recht nicht angenommen werden.

Auch die axiomatischen Grundlegungen setzen die Begriffe wie Zahl, Null, Nachfolger bereits voraus. Nachfolger werden hierbei durch Addition gebildet, die also auch als gegeben vorausgesetzt wird. Tatsache ist jedoch, dass sowohl axiomatische, als auch mengentheoretische Begründungen der Mathematik erst angewendet werden können, wenn es eine Theorie gibt, die die Elemente, die von beiden vorausgesetzt und verwendet werden, zuallererst zur Verfügung stellt. Die hier vorgestellte Theorie stellt genau dies sicher, und dies zudem in einer Weise, die eine Erklärung dafür liefert, warum die Elemente der Mathematik in der Struktur und in den Ordnungen auftreten, die wir immer schon anerkannt hatten. Diese Grundlegung scheint daher grundlegender als jede bisherige entweder auf Axiomen oder auf Mengen beruhende Begründung der Mathematik zu sein.

4.4 Der Logarithmus

Das Potenzieren ist eigentlich die Zusammenfassung von Multplikationsfaktoren, wobei in einer Potenz die Basis den Faktor der Multiplikation, und der Exponent die Anzahl dieses Faktors in der Operation darstellt (1 x 1 x 1 = 1³). Beim Logarithmieren ist sozusagen eine Potenz gegeben, deren Faktor bekannt ist, dessen Anzahl jedoch zu ermitteln ist. Es ist also vom Ergebnis (Produkt) einer Multiplikation ausgehend, nach der Anzahl der Faktoren gefragt.

Für das hier vorgestellte Schema bedeutet dies, dass das Logarithmieren nach dem Zustandekommen des Resultates von Stadium 7 fragt, und somit zurück in Stadium 6 führt. Das Logarithmieren gehört somit zu den Rechenoperationen der 3. Ordnung, und ist, gehört wie Potenzieren und Radizieren zu Ebene I, bzw. an den Übergang von Ebene I zu Ebene II. Während aber das Radizieren von Ebene I in Ebene II dadurch führt, dass es von Stadium 1 in Stadium 2 führt, führt das Logarithmieren von Ebene I in Ebene II dadurch, dass es von Stadium 7 in Stadium 6 führt. Das Logarithmieren läuft dem Bewegungsprozess der bisher eingeführten Operatoren sozusagen rückwärts entgegen. Zur Bestimmung des Logarithmus benötigen wir zudem nichts weiter als die Zahl Eins, denn: Jede natürliche Zahl ist der Logarithmus von 1 zur Basis 1.

Zuletzt stellen wir noch eine weitere Betrachtung über die beiden Rechenoperationen Radizieren und Logarithmieren an. In der Schule lernt man eine einfache Vorgehensweise, um die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren auszuführen. Für das Wurzelziehen und das Logarithmieren jedoch wird keine solche einfache Vorgehensweise gelehrt. Stattdessen behilft man sich mit Tabellen, und liest die Ergebnisse ab. Wir erklären dies aufgrund der Eigenschaft der Ebene I, von der das Wurzelziehen und das Logarithmieren ja in dieser Einführung ihren Ausgangspunkt nehmen. In ihrer Eigenschaft steht die Ebene I für Absolutheit, Vollkommenheit, Vollständigkeit, Unendlichkeit, absolute Einheit usw. Ebene I ist daher dem Verstehen nur teilweise zugänglich. Deshalb gehören ihr auch die Irrationalen Zahlen I an. Sie ist überrational und bedeutet für unseren Verstand Transzendenz, d.h. sie geht über den Verstand hinaus. Die Ebene II, als Ebene der Rationalen Zahlen und somit rationale Ebene, sowie die unter ihr liegenden Ebenen III und IV, sind mit dem Verstande vollkommen analysierbar. Die reelle Ebene I jedoch nicht, weil sie  irrationale Eigenschaften in sich birgt. Die Ebene I ist die Ebene der Vernunft!

Die Frage nun, warum das Potenzieren, welches ja auch mit Ebene I in Zusammenhang steht, so einfach erlernbar ist, ist leicht beantwortet. Das Potenzieren führt in die Ebene I hinein, geht jedoch aus von Ebene II (Stadium 6), die vollkommen dem Verstehen zugänglich ist. Wurzelziehen und Logarithmieren gehen jedoch von Ebene I aus und führen somit einen Aspekt von Irrationalität bei sich. Diese beiden Operationen nun gehen also von Ebene I in Ebene II. Das Wurzelziehen von Stadium 1 in Stadium 2, das Logarithmieren hingegen von Stadium 7 in Stadium 6. Wir können daher davon ausgehen, dass dieser Aspekt der Irrationalität, den sie durch ihren Ausgangspunkt von Ebene I her bei sich führen, die Möglichkeit des Ermittelns einer einfachen Systematik zur Berechnung verhindert. Denn wenn die Fähigkeit des Menschenverstandes rational ist, so ist ihm das Irrationale, und somit Ebene I, nicht in vollem Umfang ergründbar. Mit den Mitteln einer niederen Ebene lassen sich die Gesetzmäßigkeiten einer höheren Ebene niemals vollständig erfassen, bevor man nicht selbst eine Transformation in diese höhere Ebene erfahren hat.

4.5 Die Ausführung in Gegenrichtung

Beginnen von Stadium 7 aus ist auch die umgekehrte Bewegung des Prozesses ausführbar. Von Stadium 7 zurück in Stadium 6 gelangen wir durch Logarithmieren. Alle weiteren Operationen werden rückgängig gemacht, indem die ihnen im Schema des Prinzips gegenüberliegenden Rechenoperatoren verwendet werden. Der „Rückweg“ erfolgt also zunächst abwärts

von Stadium 7 in Stadium 6 durch Logarithmieren,
von Stadium 6 in Stadium 5 durch die Division,
von Stadium 5 in Stadium 4 durch die Subtraktion,

(nun erfolgt die Umkehrung, nach der der Rückweg weiter hinauf erfolgt)

von Stadium 4 in Stadium 3 durch die Addition,
von Stadium 3 in Stadium 2 durch die Multiplikation,
von Stadium 2 in Stadium 1 durch das Potenzieren.

4.6 Die Arten der Einführung von Grundlagen

Man kann die vorliegende Theorie auch als eine Theorie betrachten, die die Grundelemente und die Grundoperatoren überhaupt erst in die Mathematik einführt. Im Gegensatz dazu wird bei der mengentheoretischen und bei axiomatischen Grundlegung der Mathematik deren Vorhandensein bereits vorausgesetzt. Bevor wir daher im mathematischen Kontext weiter machen, soll  kurz erklärt werden, was hier im Zusammenhang mit der Erstellung einer Grundlagentheorie unter „Einführen“ verstanden wird.

Wir haben in der Metaphysik bereits vom Grundsatz der Drei (G3) gesprochen. Dieser Grundsatz besagt unter anderem, dass ein vollständiges und geschlossenes System erst ab einer Dreiheit (von Elementen, Einheiten, Kriterien oder Kategorien) erstellbar ist, so wie auch erst ab der Verbindung von mindestens drei Punkten (die nicht auf einer Linie liegen) eine geschlossene Form zu zeichnen möglich ist. In Bezug auf eine Theorie könnte daher gelten, dass wenn sie eine vollständige Begründung eines Gegenstandsbereiches geben soll, dass sie gemäß dem G3 auf mindestens drei verschiedene Arten erstellt sein sollte: Deskriptiv, prinzipiell und exemplarisch. 

Deskriptiv durch die in relativ freier Fachsprache gegebenen Erklärung des Gegenstandsbereiches, seiner Problemstellungen usw. Prinzipiell durch Definitionen, Axiome, Grundsätze, Schemata u.ä. Und letztlich exemplarisch durch erstmalige praktische Einführung der Grundelemente des Gegenstandsbereiches gemäß der deskriptiven und prinzipiellen Ausführungen. Die exemplarische Einführung wird meist kaum als zur Grundlegung einer Theorie gezählt, dabei sichert diese erst das Gegeben sein der fundamentalen Elemente und Funktionen in Form einer notwendigen Setzung, indem sie sie praktisch einführt. Man könnte z.B. eine Theorie über Briefe entwickeln. Die deskriptive Begründung bestünde in der Erklärung, was ein Brief ist, welchen Sinn er erfüllen soll und welche Arten von Briefen es gibt usw. Die prinzipielle Begründung bestünde in der Bestimmung der Positionen von Adresse, Betreff, Anrede, usw. In der exemplarischen Begründung nun müsste ein Brief anhand der deskriptiven und prinzipiellen Begründungen in allgemeiner Form auch erstellt werden, um die Anwendbarkeit der Theorie in der Praxis zu erweisen. Ohne exemplarische Einführung existierten theoretisch keine Briefe, d.h. die Einführung der Theorie wäre unvollständig.

Es kann jedoch durchaus auch Theorien geben, bei denen eine exemplarische Einführung nicht möglich ist, so z.B. die Evolutionstheorie. Aber es muss auch nicht jede Theorie als geschlossenes System formuliert sein.

4.7 Potenzen und Potenzgesetze

4.7.1 Die vollständige formale Darstellung einer Zahl

Eigentlich ist jede mathematische Zahl eine Potenz. Dies ergibt sich daraus, dass unser Zahlensystem ein Stellensystem ist. Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten. Dies gilt nun nicht nur für Zahlen, die sich aus dem Potenzieren ergeben, sondern für jede Zahl. Denn auch jede nicht potenzierte  Zahl trägt einen Exponenten – nur schreiben wir diesen üblicherweise ebenso nicht mit, wie wir bei positiven Zahlen das Plus-Zeichen nicht voran setzen. Jede nicht potenzierte Zahl trägt den Exponenten 1. Dies verändert nichts an dem Wert einer Zahl, denn rechnerisch ist 5¹ gleich 5 – deshalb lassen wir diesen Exponenten üblicherweise weg. Formal vollständig aber ist eine Fünf nicht als 5 darzustellen, sondern als +5¹ zu schreiben.

Eigentlich ist auch dies noch unvollständig. Denn in der Realität kann die Mathematik nur angewendet werden, wenn ihre Zahlen für etwas stehen können. D.h. das die 5 uns alleine keinerlei Erkenntnis über die Welt liefert, wenn sie nicht als Quantität irgendeiner Qualität stehen kann (so z.B. für 5 Äpfel, 5 Meter oder 5 Kilogramm Salz). Um diesen Bezug zu ermöglichen trägt eigentlich jede Zahl stillschweigend eine Bezugsvariable bei sich, die wir hier q nennen wollen. Damit besteht eine Zahl also formal aus vier Bestandteilen: Der Basis, dem Exponenten, dem Vorzeichen und der Bezugsvariablen. Eine Fünf ist also vollständiger weise als +5¹q zu schreiben. Wir betrachten dabei den Exponenten als auf einer der Basis übergeordneten Ebene zugehörig.

4.7.2 Darstellung der Operationsabfolge durch die Potenzgesetze

Die Ebene I ist die Ebene der absoluten Einheit. Das bedeutet Stadium 7 und Stadium 1 fallen dort eigentlich in eins zusammen, weil in einer absoluten Einheit nichts voneinander getrennt sein kann. Es scheint jedoch, als hätten wir mit Potenzieren und Radizieren hier zwei unterschiedliche Operationen vorliegen. Dies widerspräche dem Gedanken der Einheit. Letztlich jedoch ist auch das Radizieren ein Potenzieren. Denn die Wurzel ist nichts weiter, als eine Potenz mit gebrochenem Exponenten:

Frm 03 - Sqr 1

Berücksichtigt man die Potenzgesetze, dann ist, ausgehend von der Operation Wurzel aus 1, die als nächstes zu verwendende Operation sogar in gewisser Weise bereits vorgegeben. Wir hatten bei der Einführung der Division in Kapitel 4.2 bereits angesprochen, dass sich dies auch über die Potenzgesetze rechtfertigen ließe.

Dafür nehmen wir für den Abstieg von Ebene I in Ebene IV (Stadien 1-4) an, dass eine Rechenoperation, die auf einer höheren Ebene auf Exponenten angewendet wird, in der nachfolgenden niederen Ebene mit den Grundzahlen (Basen) der Potenz angewendet wird. Die Betreffende Rechenoperation fällt dabei sozusagen von den Exponenten in die Basis. Umgekehrt gilt für den Aufstieg von Ebene IV in Ebene I (Stadien 4–7), dass eine Rechenoperation, die auf einer niederen Ebene mit den Basen angewendet wird, in der nächst höheren Ebene mit den Exponenten angewendet wird, sodass die betreffende Operation sozusagen von der Basis in die Exponenten steigt.

Da jede Zahl letztlich als eine Potenz zu betrachten ist können wir dies an der oben durchgeführten operativen Explikation demonstrieren. In Ebene I-Stadium 1 (EI-S1) wurde die Quadratwurzel aus 1 gezogen. Die Wurzel aber ist nichts weiter als eine Potenz mit gebrochenem Exponenten, d.h. einem Exponenten, in dem die Division ½ ausgeführt wird. Da jede Zahl (stillschweigend) den Exponenten 1 trägt, könnte das folgende Potenzgesetz formuliert werden.

Potenzen werden Radiziert, indem ihre Exponenten durch den Wurzelexponenten dividiert werden.

Für unser Schema bedeutet dies, dass auf EI-S1 im Exponenten eine Division stattfindet. Diese fällt nun auf der nächsten Ebene (EII) in die Basis. Wir führen die Division hier also nicht als etwas völlig neues ein oder beziehen sie von fremden von außerhalb des Schemas her, sondern leiten sie aus der Struktur der im Schema erfolgten vorgängigen Operation ab.

Das gleiche gilt nun für den nächsten Schritt. Auf EI-S1 befanden wir uns im Stadium des Radizierens. Nun, Auf EII-S2 befinden wir uns im Stadium der Division. Hinsichtlich der Division lautet das Potenzgesetz:

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem ihre Exponenten subtrahiert werden.

Das heißt, während innerhalb der Basen die Division bestimmt ist, erfolgt die Operation in den Exponenten durch Subtraktion. Für den nächsten Schritt, der Operation auf Ebene III in Stadium 3 fällt also die Subtraktion in die Basis. Aus diesem Grunde wurde an genau dieser Stelle auch die Subtraktion eingeführt – bzw. musste dort eingeführt werden.

Da die Einführung der Subtraktion in Ebene III Stadium 3 uns für Ebene IV Stadium 4 als Ausgangspunkt das Resultat Null lieferte und dies keine weiteren Operationen ermöglichte, wurden die zuvor durchgeführten Subtraktionen innerhalb des Terms in umgekehrter Richtung als Addition ausgeführt, wodurch die Addition in unser Schema eingeführt wurde. Wir gelangten damit zurück in Ebene III, nun jedoch in Stadium 5.

Mit der Addition veränderte sich nun die Verlaufsrichtung im Schema von absteigend zu aufsteigend. Das bedeutet, dass die soeben in den Basen erfolgte Addition auf im nächsten Stadium (EII-S6), das ja wieder auf einer höheren Ebene (E II) liegt, innerhalb der Exponenten sich finden wird. Dem entsprechend lautet das Potenzgesetz:

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden.

Mit der Addition der Exponenten befinden wir uns nun auf Ebene II in Stadium 6, dem Stadium der Multiplikation, die nun ihrerseits in die Exponenten-Ebene aufsteigt, was im Endstadium 7 zurück auf der Ausgangs-Ebene I zum Potenzieren führt; denn:

Potenzen werden potenziert, indem ihre Exponenten multipliziert werden.

Somit bestätigt sich die hier explizierte Organisationsstruktur auch durch die Potenzgesetze. Wir wollen nun noch einen Schritt weiter gehen und auch die Grundstrukturen der Geometrie mit einbeziehen. 

5  Die Bedeutung der Ebenen in der Geometrie

5.1 Die Raumdimensionen

Die geometrischen Strukturen des Raumes sind uns aus der Geometrie bekannt als Punkt, Linie, Fläche und Volumen, wobei die letzten drei Strukturen ein-, zwei-, und dreidimensional sind, der Punkt hingegen undimensional oder auch nulldimensional ist. Er besitzt keinerlei Ausdehnung. Anfang und Ende heben sich im Punkt gegenseitig auf. 

Tab 04

Zu beachten ist dabei aber der Unterschied zwischen dem Raum, sofern er von materiellen Körpern eingenommen wird und somit die Form des jeweiligen Körpers besitzt, und dem Raum, in dem all diese materiellen Körper sich befinden, dem formlosen kosmischen Raum des Weltalls.

Üblicherweise betrachten wir den formlosen kosmischen Raum ebenso wie den formhabenden Volumenraum von materiellen Körpern als dreidimensional. Damit aber setzen wir geometrisch Formloses und Unbegrenztes dimensional gleich mit Formhabendem und Begrenztem. 

5.2 Dimensionalität und Undimensionalität

Der Begriff Dimension kommt vom lat. mensura, was übersetzt „Messung, Ausmessung; Maß“ bedeutet. Etwas Dimensionales ist somit etwas, das messbar ist und die quantitative Angabe eines Messwertes von einem Gegenstand ermöglicht. Eine Messung lässt sich jedoch nur durchführen, ein Maß nur feststellen, wenn innerhalb der zu messenden Dimension ein Anfang und ein Ende gegeben ist. So ist im Eindimensionalen eine Messung zwischen einem linken und einem rechten Begrenzungspunkt möglich; im Zweidimensionalen kommt eine Messmöglichkeit zwischen einem vorderen und einem hinteren Begrenzungspunkt hinzu; und im Dreidimensionalen zusätzlich eine Messmöglichkeit zwischen einem unterem und einem oberem Begrenzungspunkt. Dimensionale Gegenstände sind also messbar, d.h. sie sind kommensurabel.

Eben dies aber gilt nicht für den formlosen kosmischen Raum, in dem alle materiellen Gegenstände der Welt enthalten sind, da wir diesen nur als unendlich vorstellen können. Er ist nicht messbar oder inkommensurabel. Wir können zwar in ihm beliebige Messungen von Größen an realen oder auch nur vorgestellten Gegenständen vornehmen, ihn selbst aber können wir keiner Messung unterziehen, da Unendlichkeit unmessbar ist. Das zu Messende muss immer vom Messgerät umgriffen werden können, d.h. das Messobjekt muss in das Messgerät passen. Zudem wäre eine mögliche Messung des Unendlichen ein Widerspruch, weil ein gemessenes Maß etwas Endliches ist. Der kosmische Raum ist deswegen formlos, weil er keine real gegenständlichen Grenzen besitzt, die eine Form oder Gestalt bestimmen könnten und die als Anfangs- und Endpunkt einer Messung dienen könnten.

Da Dimensionalität nun Messbarkeit bedeutet, kann der kosmische Raum als Ganzes nicht als dimensional aufgefasst werden, sondern sollte als undimensional betrachtet werden. Dies hindert natürlich nicht, innerhalb seiner selbst den verschiedenen Dimensionen Raum zu bieten, denn alle ausgedehnten körperlichen Gegenstände befinden sich ja in ihm. Diese allein allerdings sind dimensional, der kosmische Raum selbst, ebenso wie jeder einzelne Punkt in ihm, egal ob innerhalb oder außerhalb körperlicher Formen und Volumina, sind undimensional oder nulldimensional, was das Gleiche bedeutet. Dimensionen sind kommensurabel – was hingegen inkommensurabel ist, ist undimensional, nulldimensional, bzw. dimensionslos.

Die Vorstellung, dass der kosmische formlose Raum ein dreidimensionaler Raum sei, entstammt einer verkürzten Sichtweise. Ihn als dreidimensional zu betrachten liegt erstens an unserer analogen Vorstellung von ihm als einer Art Behälter aller Gegenstände, zweitens aber auch an einer metaphysisch unzulänglichen Definition der geometrischen Dimensionen.

5.3 Zur Definitionsweise geometrischer Dimensionen

In der Mathematik wird mit der Dimension ein Konzept bezeichnet, das die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet, wobei wir hier vom dreidimensionalen euklidischen Raum sprechen.

Man definiert Dimensionen in diesem Raum anhand der Anzahl der senkrecht (d.h. orthogonal, oder im Winkel von 90 Grad) zueinander stehenden Koordinatenachsen. So hat ein eindimensionaler Raum eine einzige Achse; im zweidimensionalen Raum befinden sich zwei zueinander senkrecht stehende Achsen und im dreidimensionalen Raum stehen drei Koordinatenachsen orthogonal zueinander.

Nach dieser Definition der Dimensionen ist sowohl der Raum, den ein Körper durch seine Form einnimmt, als auch der Weltraum, in dem all diese ausgedehnten Körper sich befinden, dreidimensional. Hinsichtlich der Dimensionen unterscheiden sich diese beiden Räume also überhaupt nicht. Damit aber wird in dimensionaler Hinsicht etwas Endliches mit etwas Unendlichem gleichgesetzt. Und wenn der Weltraum als dimensional ausgedehnt betrachtet wird, dann behauptet man im eigentlichen Sinne des Wortes seine Messbarkeit, was nicht korrekt ist.

Wir nennen im Weiteren die herkömmliche und nach unserer Auffassung metaphysisch unzulängliche Definitionsweise der Raumdimensionen die Richtungsdefinition der Raumdimensionen, da sie von der Anzahl der senkrecht zueinander stehenden Richtungsachsen ausgeht.

Da der Begriff Dimension nun ursprünglich von Messbarkeit ausgeht, könnte dies auch in der Definition aufgegriffen werden, und da Messbarkeit nur innerhalb von Begrenzungen möglich ist, nennen wir die nach unserem Dafürhalten dienlichere Definitionsweise die Begrenzungsdefinition der Raumdimensionen.

Die Begrenzungsdefinition definiert die Dimensionalität des Raumes anhand der Anzahl der zueinander orthogonal stehenden begrenzten Koordinatenachsen. Nach dieser Definition sind nun allein noch begrenzte Volumina von materiellen Körpern oder als begrenzt vorgestellte imaginäre Räume dreidimensional. Der gesamte kosmische Raum jedoch, der reale materielle Begrenzungen wohl nicht aufweist, ist nach dieser Definition nicht als dreidimensional, sondern undimensional oder nulldimensional zu verstehen. Dies hindert uns natürlich nicht daran, begrenzt vorgestellte Bereiche in ihm als dreidimensional zu bestimmen oder gar den gesamten Weltraum als begrenzt und somit als dreidimensional vorzustellen, was dann aber nur innerhalb der durch die Vorstellung gesetzten Grenzen und per definitionem Gültigkeit hat, nicht aber auch für den Weltraum an sich, d.h. unabhängig von unserer Vorstellung gültig ist, da dieser an sich nur undimensional weil unbegrenzt vorstellbar ist.

5.4 Offene und geschlossene Dimensionen

Eine weitere Unterscheidung, die wir hier treffen wollen ist die zwischen geschlossenen und offenen Dimensionen. Zu den geschlossenen Dimensionen gehören die zweite Dimension und die dritte Dimension, da sie Begrenzungen aufweisen, die einen Inhalt vollständig umschließen. Die Linie hingegen hat eine offene Dimension, da sie entweder zu beiden Seiten hin ins Unendliche fortgeht oder, im Falle einer begrenzten eindimensionalen Strecke keinen Inhalt umschließt. Offen, aufgrund ihrer Unendlichkeit oder Raum- und Zeitlosigkeit, ist zudem auch Undimensionalität.

5.5 Das Undimensionale

Aber nicht nur der Weltraum in seiner Gesamtheit ist als undimensional zu betrachten. Undimensionalität gilt auch für jeden beliebigen Punkt des gesamten Weltraumes – und zwar völlig unabhängig davon, ob ein Raumpunkt innerhalb oder außerhalb eines materiellen Körpers liegt. Denn auch ein Punkt hat keine messbare Größe, sondern ist lediglich ein durch Koordinatenschnittpunkte bestimmbarer Ort.

Ein Raumpunkt ist jedoch aus einem anderen Grunde unmessbar und undimensional, als es der kosmische Raum in seiner Gesamtheit ist. Während bei Letzterem ein Anfangs- und ein Endpunkt für eine Ausmessung desselben gar nicht vorhanden sind, fallen Anfang und Ende bei einem Punkt in eines zusammen und heben sich dadurch gegenseitig auf.

Wir nennen daher den kosmischen Raum undimensional, weil er überdimensional ist, einen beliebigen einzelnen Punkt dieses Raumes jedoch, egal ob innerhalb oder außerhalb materieller Körper, nennen wir undimensional, weil er unterdimensional ist. In der Bedeutung der Vorsilbe „meta“ als Synthese von Immanenz und Transzendenz ist Null-, bzw. Undimensionalität somit Metadimensionalität.

Da sich bei einem Punkt Anfang und Ende gegenseitig aufheben, ist auch ein Punkt unbegrenzt. Was jedoch unbegrenzt ist verstehen wir als unendlich, sodass mit dieser Bestimmung jeder einzelne Raumpunkt für unsere Vorstellung mit dem gesamten kosmischen Raum selbst zusammenfällt. Undimensionalität hat die paradoxe Eigenschaft, sowohl unmessbar groß (überdimensional), als auch unmessbar klein (unterdimensional) zu vereinen.

Dies ist jedoch logischer, als es zunächst erscheinen mag. Denn stellen wir uns als Gedankenexperiment einmal vor, wir schwebten körperlos im kosmischen Raum, in dem keinerlei materielle Gegenstände mehr vorhanden sind. Abstrahieren wir also mal von allen existierenden materiellen Objekten der Welt. Was würden wir dann noch wahrnehmen? Ich meine gar nichts Besonderes mehr, weil für uns dann alles absolut eines wäre. Wir könnten nicht mal uns selbst vom Raum unterscheiden, weil wir ohne Körper nicht mehr feststellen könnten, wo wir aufhören und der Raum beginnt. Wir könnten auch keine verschiedenen Raumbereiche ausfindig machen, weil keine Begrenzungen vorhanden wären, die diese voneinander trennen. Und wir könnten schließlich auch keinen bestimmten Raumpunkt von einem anderen unterscheiden, weil wir keine fixierbaren Punkte vorfänden, mit denen wir irgendeinen besonderen Raumpunkt bestimmen könnten, um ihn von einem anderen örtlich zu unterscheiden. Es existierten keinerlei Relationen zueinander. Wir befänden uns also in einer unendlichen Absolutheit als einer absoluten Einheit mit uns selbst.

Da nun Undimensionalität und Unendlichkeit Absolutheiten sind, haben dort relative Bestimmungen wie groß und klein keine Bedeutung, sodass sich der Unterschied zwischen dem unendlich großen Raum (These) und dem unendlich kleinen Punkt (Antithese) dialektisch im Unendlichen (Synthese) des Absoluten aufhebt. Denn groß oder klein ist etwas immer nur im Vergleich zu etwas anderem. Gibt es jedoch nur absolut Eines, dann ist eine Bestimmung desselben bezüglich welcher Qualität auch immer im Verhältnis zu einem anderen gar nicht möglich.

5.6 Die vierfache Struktur des Raum-Zeit-Kontinuums

Was liefert uns die vorangegangene Betrachtung nun an Einsichten, die für den weiteren Fortgang unserer Theorie dienlich sein können?

Kurz gesagt halten wir zunächst fest, dass wir von einer vierfachen Struktur auszugehen haben. Und zwar nicht von einem vierdimensionalen Raumzeitkontinuum, bei dem zu den drei Raumdimensionen einfach dir Zeit als vierte Dimension wie etwas Separates hinzugefügt wird, sondern von einer vierfachen Struktur, bestehend aus den drei Dimensionen materiell begrenzter Räume und dem undimensionalen Kontinuum des gesamten kosmischen Raumes in dem alle räumlich begrenzten Körper vorhanden sind, das aber zugleich auch an und in jedem Punkt dieser Körper enthalten ist. Das undimensionale Raum-Kontinuum ist somit allen Körpern sowohl immanent, als auch transzendent.

5.7 Die Zeit als Dimension

Die Zeit kommt erst dadurch ins Spiel, das jene Verhältnisse und Sachverhalte im Raumkontinuum durch ein Bewusstsein wahrgenommen werden, das die Dauer des eigenen Bestehens und des anhaltenden Bestehens der von ihm wahrgenommenen Sachverhalte Zeit nennt. Da jedes an einen begrenzten Körper gebundene Bewusstsein sowohl in den drei Raumdimensionen entfaltet ist, als auch einen Teil des an sich unteilbaren und undimensionalen Kontinuums mit diesem Körper einnimmt, ist die Zeit integrativ in die gesamte dimensionale Struktur des Raumkontinuums einzubringen, und nicht lediglich den drei Raumdimensionen separat anzufügen.
Auch ließe sich keine der drei Raumdimensionen von einem bewegten Punkt her entstanden vorstellen, wenn nicht die Zeit daran beteiligt wäre.

6  Eigenschaften der Strukturbereiche des Schemas

Nachdem die Ordnungsstruktur der Mathematik schematisch dargestellt und mit der Geometrie in Beziehung gesetzt wurde können nun die daraus sich ergebenden Eigenschaften der Ebenen und Stadien dargestellt werden. Hier unterscheiden sich formale von inhaltlichen Eigenschaften. Formale Eigenschaften werden solche genannt, die sich allein aus der Form des Schemas, der Anordnung der Ebenen und dem Verlauf des kinematischen Momentes ergeben. Formale Eigenschaften gelten für das Schema im Ganzen. Dazu zählt z.B., dass Stadium 4 als einziges Stadium ein Wendepunktstadium ist. Weitere formale Eigenschaften werden wir im Rahmen der erkenntnistheoretischen Erörterung des Schemas diskutieren. Hier und jetzt sind die inhaltlichen Eigenschaften zunächst von größerer Bedeutung. Diese Eigenschaften leiten wir aus den hier besprochenen mathematischen und geometrischen Zusammenhängen ab. Inhaltliche Eigenschaften betreffen nicht das Schema im gesamten sondern einzelne Ebenen und Stadien.

In der hier vorgestellten Analyse der Mathematik sind die verschiedenen Zahlenmengen und Rechenoperationen den jeweiligen Ebenen in einer einzig möglichen Weise zugewiesen worden, und zwar in einer Weise, die sicherstellt, dass alle verwendeten Rechenoperationen, die auf der jeweiligen Ebene eingeführt werden, dort auch uneingeschränkt ausgeführt werden können.  Durch diese Zuweisung der Zahlenmengen zu den vier Ebenen (I bis IV) ergibt sich eine Anordnung der Zahlenmengen, die ihrer Mächtigkeit gerecht wird, d.h. die Zahlenmenge der Reellen Zahlen R, die die größte Mächtigkeit besitzt steht auf Ebene I, die Rationalen Zahlen Q stehen auf Ebene II, die Ganzen Zahlen Z stehen auf Ebene III, und die Natürlichen Zahlen N, die die geringste Mächtigkeit besitzt, stehen auf Ebene IV. Ebenso sind die Rechenoperationen der geringsten Ordnung der untersten Ebene zugewiesen, und die der höchsten Ordnung der höchsten Ebene zugehörig. Wir hatten in Kapitel 2 bereits eine Tabelle zur Darstellung der Eigenschaften der Ebenen aus den Eigenschaften der Intervalle von verschiedenen Zahlenarten erarbeitet.
In dieser Tabelle blieb es noch offen, die Eigenschaften der Ebene I von Ebene II zu unterscheiden, weil hier beide mit denselben Eigenschaften (unbegrenzt und abstrakt) auftraten. Es galt als ein weiteres Merkmal zur Unterscheidung aufzufinden.
Wir haben oben bereits über die Absolutheit der Ebene I in Zusammenhang mit ihrer Metadimensionalität gesprochen. Absolutheit nun ist die entscheidende Eigenschaft der Ebene I, durch die sie sich von allen anderen drei Ebenen, die relativ sind, unterscheidet. Die vollständige Darstellung der Eigenschaften aller Ebenen liefert folgende Tabelle.

Tab 05

Nun sollen den Ebenen auch noch jene Eigenschaften hinzugefügt werden, die sich aus der Analyse der Geometrie wie in folgender Tabelle ergaben.

Tab 06

Die drei Dimensionen m¹ bis m³ bereiten üblicherweise der Vorstellung keine Schwierigkeiten. Eine besondere Betrachtung jedoch verdiente die undimensionale Ebene I, die wir in der Dimensionsanalyse ausführlicher erörtert haben. Wir hatten dort festgestellt, dass Die Ebenen I und II offene Ebenen sind, da ihnen, wenn auch in unterschiedlicher Weise, Unendlichkeit zukam, die Ebenen III und IV hingegen geschlossene Ebenen sind, da erst dort geformte Gebilde möglich sind, die einen vom Umfeld abgegrenzten Inhalt aufweisen.

Die Vierheit der Elemente der Geometrie legt natürlich nahe, auf die Vierheit der Ebenen bezogen zu werden, sodass sich unsere Tabelle nun wie folgt erweitert.

Tab 07

Aus dieser Tabelle darf nun nicht darauf geschlossen werden, dass die Rationalen Zahlen Linien sind und die Ganzen Zahlen aus Flächen bestehen. Es ging uns ja lediglich darum, die Eigenschaften der verschiedenen Zahlenmengen auf die Ebenen zu übertragen. Reduzieren wir diese Tabelle daher auf die Eigenschaften der Ebenen und beziehen wir bereits vorgreifend unsere fundamentalen Kategorien (Qualität, Quantität, Relation) so ergibt sich folgende Tabelle:

Tab 08

Hier wird nun deutlich wie zusammenhängend und geschlossen das hier vorgestellte System ist. Benachbarte Ebenen haben immer einen verbindenden Bezug zueinander, indem ihnen die Eigenschaften von zwei Kategorien gemeinsam sind. So sind Ebene I und Ebene II dadurch einander verbunden, dass beide hinsichtlich der Quantität unbegrenzt und hinsichtlich der Qualität abstrakt sind. Ebene II und Ebene III hingegen sind verbunden durch die Abstraktheit in Qualität und durch die Relativität der Relation. Die Verbindung von Ebene III und Ebene IV hingegen ist gegeben durch die Kategorien der Quantität (begrenzt) und der Relation (relativ).

Zugleich aber besteht auch eine Beziehung der gegenüberliegenden Stadien zueinander, weil sie auf einer gemeinsamen Ebene liegen. 

 

Schema-Dim

 

7  Ausblick

Die nächste anzustellende Überlegung wäre nun, ob und wie wir dieses Schema in der Organisation und der Verwaltung unserer empirisch und rational gewonnenen Erkenntnisse anwenden werden können. Es geht also um die erkenntnistheoretische Bedeutung der hier explizierten schematischen Struktur.

Um diese zu ermitteln, ist zunächst eine Analyse unseres Denkens nötig. Man könnte nun meinen, dass die Beschreibung unseres Denkens bereits vollständig abgehandelt sei und diesbezüglich auf die Erkenntnistheorie im Allgemeinen, sowie auf die Logik im Besonderen hinweisen. Denn schließlich formuliert und formalisiert die Logik unsere Denkgesetze. Dies aber ist hier nicht gemeint. Gemeint ist vielmehr eine Schematisierung des Denkens in seinem Ablauf und zwar unabhängig von logischer Korrektheit und unabhängig von Wahrheit oder Unwahrheit als Resultat dieses Vorganges.
Sofern die Analyse des Denkprozesses bisher in der Erkenntnistheorie erfolgte, wurde zwar von allen Inhalten der Gedanken bzw. Begriffe abstrahiert, nicht aber von den logischen Verknüpfungsweisen der Gedanken untereinander. Dies ist insofern sinnvoll, als ein folgerichtiges Denken immer den Gesetzen der Logik zu folgen hat und die Wahrheit einer Aussage eine Grundbedingung für die Erkenntnis über einen Gegenstand überhaupt zu sein scheint. Es erscheint somit sinnlos ein Denken zu analysieren, welches nicht zumindest auf logische Wahrheit gerichtet ist, oder welches nicht mal nach logischen Gesetzen vorgeht, d.h. unlogisch ist.
Das bedeutet jedoch nicht, dass keine erkenntnistheoretische Analyse des Denkens möglich wäre, die nicht nur vom Inhalte der Gedanken und ihrer logischen Gültigkeit abstrahiert (also völlig unabhängig davon ist, ob das Erdachte überhaupt wahr sein kann) und somit allein nur das Schema der Denk- oder Gedankenfolge Betracht zieht. Wir wollen somit nicht nur vom Inhalt der verknüpften Gedanken abstrahieren, um die Form des logischen Denkens darzustellen, sondern abstrahieren zudem auch noch von der Art der logischen Verknüpfungen und der möglichen Wahrheit von, um die Form des Denkprozesses überhaupt zu ermitteln. Kurz gesagt: Unsere erkenntnistheoretische Untersuchung des Denkens ist völlig unabhängig davon, ob ein Denken zu wahren Einsichten führt oder in logisch korrekter Weise erfolgt. Der Vollzug des von uns zu untersuchenden Sachverhaltes erfolgt somit auch in der folgenden Aussage:

„Blakon Goethe etuff schwarz mit Schnee unter auf in was gesagt“

In der Erkenntniskritik gehen wir davon aus, dass uns logisch gewonnene Verstandeserkenntnis durch die Abfolge von Begriffen, Urteilen und Schlüssen entsteht. Eine Abfolge von Begriffen führt durch die Verknüpfung mit logischen Junktoren zu gültigen Prämissen. Eine Abfolge von Prämissen führt durch logische Schlussfiguren zu gültigen Schlüssen. Und eine Abfolge von Schlüssen führt zu Theorien.
Fassen wir allgemein die zur Gewinnung von Erkenntnis zu verknüpfenden Elemente, seien es Begriffe, Urteile oder Schlüsse, unter dem Begriff Gedanken zusammen, dann können wir sagen, dass Erkenntnis gewonnen wird durch eine Abfolge von Gedanken. Beziehen wir nicht nur logische Erkenntniselemente ein, dann lässt sich noch allgemeiner sagen, dass Erkenntnis durch eine Abfolge von Kognitionen entsteht.

Was uns hier aber interessiert ist nicht die Frage danach, was nach den Regeln der Logik in einer Abfolge zu verknüpfen ist um Erkenntnis zu gewinnen, sondern die Tatsache, dass unser Denken überhaupt nur als Abfolge von Gedanken erfolgen kann. Aus erkenntnistheoretischer Sicht ist es dabei völlig unerheblich, als was die zu verknüpfenden Gedanken sonst noch vorgestellt werden können. So mag der Informatiker von einer Abfolge von Informationen sprechen, der Psychologe von einer Abfolge von Kognitionen oder Emotionen, der Neurowissenschaftler von einer Abfolge bestimmter neuronaler Netzwerk-Konfigurationen oder der Mikrobiologe von mir aus von einer Abfolge elektromagnetischer Impulsen infolge eines Kalium-Natrium-Gefälles zwischen synaptischen Membranen. All diesen Betrachtungs- und Interpretationsweisen bleibt letztlich gemeinsam, dass sich das Denken in der Zeit vollzieht.

Stellen wir diesen Denkvollzug in der Zeit nun schematisch dar, dann ergibt sich daraus üblicherweise eine Linie mit Richtungspfeil. Diese eindimensionale Struktur betrachten wir als Grundschema unseres Denkens und werden deshalb von ihr als Denkschema sprechen. Es wird sich bei der Analyse dieses Denkschemas jedoch ergeben, dass es in dieser eindimensionalen Form in vielfältiger Hinsicht unzulänglich ist. Diese Unzulänglichkeiten betreffen zum einen die Struktur dieses Denkschemas selbst, zum anderen aber auch dessen Angemessenheit im Bezug auf die Erscheinungen der Welt.

Nun folgt unser Denken den Gesetzen der Logik. Hier aber haben wir eine Analyse der Ordnungsstruktur der Mathematik vorliegen. Was hat das eine mit dem anderen zu tun?

Die gegenwärtige Grundlagentheorie der Mathematik ist gegeben in der Principia Mathematica (1910-1913), verfasst von Bertrand RUSSELL (1872-1970) und Alfred North WHITEHEAD. In seiner Einführung in die mathematische Philosophie (1919 engl., 1923 dt.) schreibt Russell:

„Mathematik und Logik waren, historisch gesprochen, zwei ganz getrennte Arbeitsgebiete. Die Mathematik hin mit den Naturwissenschaften, die Logik mit dem Griechischen zusammen. Aber beide haben sich in der modernen Zeit entwickelt. Die Logik wurde mathematischer, die Mathematik logischer. Infolgedessen ist es heute ganz unmöglich, einen Trennungsstrich zwischen beiden zu ziehen. Tatsächlich sind sie eins. Sie unterscheiden sich wie der Knabe und der Mann: Die Logik ist die Jugend der Mathematik und die Mathematik ist das Mannesalter der Logik.“

Sicherlich gibt es gegen diese Gleichstellung auch berechtigte Einwände. Dennoch dürften die Logik und die Mathematik in sehr engem Zusammenhang stehen. Wenn nun aber die Logik die Gesetze unseres Denkens bestimmt und die Mathematik mit der Logik gleichgesetzt werden kann, dann liefert die Mathematik mit ihrer Ordnungsstruktur möglicherweise auch die Ordnungsstruktur unserer Erkenntnis. Wir werden daher versuchen darzustellen, wie und warum die aus der Mathematik gewonnene Ordnungsstruktur unser Denkschema ersetzen kann und sollte.

Wir gehen dabei von dem Standpunkt aus, dass all unsere Erkenntnis von der Welt eine Erkenntnis ist, die uns immer nur gefiltert durch die Sinne und den Verstand gegeben sein kann. Eine Erkenntnis unabhängig dieser Filter kann es überhaupt nicht geben, da wir ohne Sinne und Verstand weder Eindrücke empfangen, noch Begriffe zu bilden in der Lage sind. Die Welt ist somit für uns immer nur eine Erscheinung im Sinne von Immanuel KANT (1724-1804). Das aber bedeutet, dass sich alles, was wir von der Welt wahrnehmen, erfahren und zu wissen glauben, immer nur in unserem Bewusstsein befindet. Zwar müssen wir möglicherweise eine außerhalb unseres Bewusstseins bestehende Welt-an-sich annehmen (andernfalls hätten wir Erscheinungen von etwas, was gar nicht besteht), von dieser Welt-an-sich aber können wir nichts weiter wissen, als das sie Auslöser unserer im Bewusstsein befindlichen Erscheinung von ihr ist.

Die Welt-an-sich ist das logische Subjekt, dem die bewusstseins-immanenten Erscheinungen (Welt-für-uns) sämtlich nur als Prädikate zugewiesen werden können. Diese Erscheinungen haften nicht an den Dingen an sich sondern entstehen in unserem Bewusstsein. Auch eine Tomate ist nicht rot, sondern sie erscheint uns in einer Weise, die wir rot nennen.

Oft wird dies falsch verstanden und infolge dieses Missverstehens der Vorwurf erhoben, dass es sich hier um eine Verdoppelung der Welt handele. Eine Welt außerhalb unseres Bewusstseins (Welt-an-sich) und eine Welt innerhalb unseres Bewusstseins (Welt-für-uns = Erscheinung). In dem Wunsch diese Verdoppelung aufzuheben verlegen sich dann die Idealisten auf die Vorstellung von einer Welt allein in unseren Bewusstsein und verwerfen das Konzept der Welt an sich, während die Materialisten das Konzept der Welt für uns verwerfen und glauben die Welt an sich objektiv erfassen zu können. Letztere können zwar vom psychologischen Subjekt abstrahieren und gelangen dadurch zu einer von persönlichen Faktoren bereinigten Objektivität, niemals aber lässt sich vom erkenntnistheoretischen Subjekt abstrahieren. Denn ohne dieses kann eine Erkenntnis, in welcher Modalität sie auch immer stehen mag, gar nicht erst entstehen.

Die Vorstellung von der Möglichkeit des Verwerfens entweder der Welt-an-sich oder der Welt-für-uns (Erscheinung) resultiert aus dem Irrtum, dass es sich in beiden Fällen um eine Welt als logisches Subjekt handele, dem von uns erkannte Eigenschaften als Prädikate zugehören. Dem ist jedoch nicht so. Welt-an-sich und Erscheinung stehen sich nicht als zwei alternativ verwendbare logische Subjekte gegenüber, sondern stehen in dem für unseren Verstand notwendigen logischen Verhältnis von Subjekt und Prädikat.

Wer diese Notwendigkeit nicht einsehen möchte, dem sei einmal folgendes Gedankenexperiment nahegelegt. Man versuche sich einen beliebigen Gegenstand (Subjekt) vorzustellen, um dann von all seinen Eigenschaften (Prädikaten) zu abstrahieren (abzusehen). Nach einem solchen Versuch bleibt uns absolut nichts mehr vom zuvor vorgestellten Gegenstand übrig, was uns als dessen Subjekt dienen könnte. Dennoch aber müssen wir ein Subjekt annehmen, weil es der Träger jener Eigenschaften ist, die den Gegenstand für uns ausmachen. Auch auf diesen Dualitätsfilter können wir nicht verzichten, weil unser Verstand auf unterscheiden angewiesen ist und somit immer mindestens einer Dualität bedarf. Denn unterschieden werden kann erst dann wenn mindestens eine Zweiheit gegeben ist.

Kommen wir nun zurück zu unserem Denkschema. Hier würde sich der naiven Vorstellung nämlich die Frage stellen, wie und mit welchem Recht wir unser abstraktes Denkschema denn auf die Welt außerhalb unserer selbst beziehen dürfen. Ein Baum und der Begriff von einem Baum seien doch etwas völlig verschiedenes. Welche allgemeingültige Beziehung, welches Band, welche Art Referenz besteht denn überhaupt zwischen Begriff und Gegenstand?

Die Antwort ist, dass wir unser Denkschema überhaupt nicht auf die Welt-an-sich beziehen, sondern auf die Welt-für-uns – und das bedeutet, wir beziehen unser Denkschema auf die bewusstseins-immanenten Erscheinungen der Welt. Das bedeutet aber, dass wir uns der Erklärung, wie zwei völlig verschiedene Dinge zueinander in Beziehung stehen, entheben können. Denn in der Anwendung unseres Denkschemas auf die Welt beziehen wir nicht zwei völlig ungleichartige Dinge aufeinander, sondern zwei gleichartige – nämlich das Denkschema sozusagen als Gedankending und die in unserem Bewusstsein befindlichen Erscheinungen (Welt-für-uns).

Nach diesem kurzen Ausblick müssen weitere Ausführungen jedoch der Metaphysik und der Erkenntniskritik vorbehalten bleiben. Nach der Diskussion unseres herkömmlichen Denkschemas und dessen Unzulänglichkeiten werden selbige behoben werden durch Erweiterung seiner Eindimensionalität auf das hier durch die Mathematik vorgestellte Schema.

In einem weiteren Schritt wird ein System von drei Kategorien (Qualität, Quantität, Relation) und vier Modalitäten (Möglichkeit, Wahrscheinlichkeit, Kontingenz und Notwendigkeit) vorgestellt und mit unserem neuen Denkschema in Zusammenhang gebracht werden. Selbiges gilt für die Konzepte Ursprung-Ziel (Metaphysik), Grund-Folge (Logik), Ursache-Wirkung (Kausalität) und Aktion-Reaktion (Physik). Auch wird uns die kategoriale Differenzierung zwischen Verstand (Denken) und Vernunft (Werten) anhand unseres Denkschemas beschäftigen sowie in diesem Zusammenhang die Beziehung zwischen Logik und Dialektik.

Es ist somit noch viel zu tun, bevor wir konkrete Beispiele für die Anwendung unseres neuen Denkschemas vortragen können und es dabei auch auf bisher ungelöste Probleme der Philosophie beziehen werden. Als Stichworte seien hier lediglich der Universalienstreit und die Wahrheitstheorie genannt.

Die hier erfolgte mathematische Ausführung erfolgte sozusagen als Propädeutik zur einer revisionären Metaphysik. Die Darstellung des Denkschemas in seiner Struktur aus vier Ebenen und sieben Stadien hätte auch über andere Wege erfolgen können. Es schien mir jedoch ratsam in einer stark an den Naturwissenschaften und deren mathematischen Vorgehensweise orientierten Kultur den Weg über die mathematische Darstellung zu gehen. Denn was mathematisch als richtig erkannt wird, dem wird ja oft sogar schon Realitätsstatus zuerkannt – auch wenn man dann seine Abstraktionsfähigkeiten mit einer Anzahl von elf Dimensionen zu versuchen hat. Uns jedenfalls werden derselben drei genügen!

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